Метод конечных элементов примеры решения задач -



Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого телатеплообмена, гидродинамики и электродинамики. Суть метода следует из его названия.

Область, в которой ищется решение дифференциальных уравнений, разбивается на конечное количество подобластей элементов. В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. В простейшем случае это полином первой степени. Вне своего элемента аппроксимирующая функция равна нулю. Значения функций на границах элементов в узлах являются решением задачи и заранее неизвестны.

Коэффициенты аппроксимирующих функций обычно ищутся из условия равенства значения соседних функций на границах между элементами в узлах. Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов.

Составляется система линейных алгебраических уравнений. Количество уравнений равно количеству неизвестных значений в узлах, на которых ищется решение исходной системы, прямо пропорционально количеству элементов и ограничивается только возможностями ЭВМ. Так как каждый из элементов связан с ограниченным количеством соседних, система линейных алгебраических уравнений имеет разрежённый видчто существенно упрощает её решение.

Если говорить в матричных терминах, то собираются так называемые матрицы жёсткости или матрица Дирихле и масс. Далее на эти матрицы накладываются граничные условия например, при условиях Неймана в матрицах не меняется ничего, а при условиях Дирихле из матриц вычёркиваются строки и столбцы, соответствующие граничным узлам, так как в силу краевых условий значение соответствующих компонент решения известно.

Затем собирается система линейных уравнений и решается одним из известных методов. Решение поставленной задачи методом конечных элементов разобьём на 2 этапа:. После этого возникает проблема нахождения системы линейных алгебраических уравнений, решение которой аппроксимирует искомую функцию. С помощью интегрирования по частям преобразуем выражение 1 к следующей форме:.

Метод конечных элементов сложнее метода конечных разностей в реализации. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: Впрочем, эту задачу удалось успешно решить алгоритмы основаны на триангуляции Делонечто дало возможность создавать полностью автоматические конечноэлементные САПР.

Метод конечных элементов возник из необходимости новых путей решения задач строительной механики и теории упругости в х годах. Одними из основоположников идей, лежащих в основе МКЭ считаются Александр Хренников и Рихард Курант.

Их работы опубликованы в х годах.

С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач. Затем эти коэффициенты выражаются через значения функций в узлах элементов. В каждом из элементов произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. У МКЭ, однако, есть ряд преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: Метод конечных элементов возник из необходимости новых путей решения задач строительной механики и теории упругости в х годах. Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Метод широко используется для решения задач механики деформируемого твёрдого тела , теплообмена, гидродинамики и электродинамики. В Китае в х годах Кан Фэн предложил численный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных для расчета конструкций плотин. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Метод дискретного элемента Метод подвижных клеточных автоматов Метод частиц в ячейках Метод решёточных уравнений Больцмана.

Впервые эффективность МКЭ была продемонстрирована в году Иоаннисом Аргирисомкоторый реализовал метод с применением ЭВМ. В Китае в х годах Кан Фэн предложил численный метод решения дифференциальных уравнений в частных производных для расчета конструкций плотин. Этот метод был назван методом конечных разностей на основе вариационного принципа, что может рассматриваться как еще один независимый способ реализации метода конечных элементов. Хотя перечисленные подходы различаются между собой в деталях, они имеют одну общую черту: Дальнейшее развитие метода конечных элементов связано также с решением задач космических исследований в х годах.

В СССР распространение и практическая реализация МКЭ в х годах связана с именем Леонарда Оганесяна. После того, как была установлена связь МКЭ с процедурой минимизации, он стал применяться к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона.

Область применения МКЭ значительно расширилась, когда было установлено в годучто уравнения, определяющие элементы в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязоктаких как метод Галёркина или метод наименьших квадратов. Это сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, так как позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений.

Таким образом, метод конечных элементов превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется и класс решаемых задач.

Метод конечных элементов — Википедия

В настоящее время предложено большое количество реализаций метода конечных элементов при моделировании процессов диффузии [1]теплопроводности [2]гидродинамики [3]механики [4]электродинамики [5] и др. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Методы решения дифференциальных уравнений. Метод конечных элементов Метод Галёркина Разрывный метод Галёркина Многомасштабный метод конечных элементов Многосеточный метод.

Метод конечных разностей Метод конечных объёмов Метод Годунова Метод граничного элемента. Метод дискретного элемента Метод подвижных клеточных автоматов Метод частиц в ячейках Метод решёточных уравнений Больцмана. Численные методы механики сплошных сред.

Ссылка на Викиучебник непосредственно в статье Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение.

Метод конечных элементов

Просмотры Читать Править Править вики-текст История. Эта страница последний раз была отредактирована 25 июля в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Конечноэлементные методы Метод конечных элементов Метод Галёркина Разрывный метод Галёркина Многомасштабный метод конечных элементов Многосеточный метод.

Другие новости по теме:

Термины по истории россии
Установить словарь на телефон